Semplici modelli matematici di diffusione dei virus (2)

In questa pagina di appendice riportiamo le giustificazioni di carattere teorico ad alcuni aspetti già trattati nella precedente esposizione quali il

Segue quindi la bibliografia e il notebook contenente l'insieme delle funzioni di Mathematica servito per l'elaborazione sia numerica che grafica.

6. Appendice matematica

6.1 Modello esponenziale e incremento del contagio

L'ipotesi che l'incremento del contagio \(\Delta n=n(t+h)-n(t)\) sia proporzionale nel modello esponenziale all'intervallo di tempo trascorso \(h\approx 0\) si giustifica a posteriori richiamando la ben nota proprietà della funzione esponenziale

\begin{equation} a^{x+h}=a^x a^h. \end{equation}

Difatti, a partire da \(n(t)=n_0 e^{\alpha t}\) abbiamo

\begin{equation}\label{eq:02} \eqalign{\Delta n&=n(t+h)-n(t)=n_0e^{\alpha(t+h)}-n_0e^{\alpha t}\cr &=n_0\bigl[e^{\alpha t}e^{\alpha h}-e^{\alpha t}\bigr]\cr &=n_0e^{\alpha t}\bigl[e^{\alpha h}-1\bigr]\cr &=n(t)\bigl[e^{\alpha h}-1\bigr]\cr} \end{equation}

e in quest'ultima espressione ritroviamo la proporzionalità della variazione con la popolazione al tempo \(t\).
D'altra parte è pure noto l'importante limite

\begin{equation} \lim_{x\to 0}\biggl(\!{e^{x}-1\over x}\!\biggr)\!=1 \end{equation}

cosicché, con le opportune sostituzioni e utilizzando questo limite, è pure

\begin{equation} \eqalign{\lim_{h\to 0}\biggl(\!{e^{\alpha h}-1\over h}\!\biggr)\! &=\lim_{h\to 0}\alpha\biggl(\!{e^{\alpha h}-1\over \alpha h}\!\biggr),\qquad z=\alpha h\\[4pt] &=\lim_{z\to 0}\alpha \biggl(\!{e^{z}-1\over z}\!\biggr)\!=\alpha.\cr} \end{equation}

Se quindi \(h\approx 0\) possiamo ritenere che sia

\begin{equation} {e^{\alpha h}-1\over h}\approx \alpha \end{equation}

da cui

\begin{equation} e^{\alpha h}-1\approx \alpha h. \end{equation}

Sostituita quest'ultima nella \eqref{eq:02} otteniamo

\begin{equation} \Delta n\approx(\alpha h) n(t) \end{equation}

che coincide, nel limite \(h\to 0\), con l'ipotesi fatta inizialmente.

6.2 Modello logistico: soluzione dell'equazione differenziale

Si tratta di risolvere l'equazione differenziale del modello logistico

\begin{equation} \frac{\textrm{d}(n)}{\textrm{d}t}=\frac{\alpha}{M}\,n(t)[M-n(t)] \end{equation}

e determinare un suo integrale particolare. Osserviamo innanzitutto che questa può riscriversi, separando le variabili \(n(t)\) e \(t\)

\begin{equation} \frac{\textrm{d}(n)}{n(t)[M-n(t)]}=\frac{\alpha}{M}\textrm{d}t \end{equation}

per cui, se nell'istante iniziale \(t_0=0 \) supponiamo una popolazione pari a \(n_0 \) abbiamo

\begin{equation} \label{eq:42} \int_{n_0}^n\!\frac{\textrm{d}n}{n(M-n)}=\int_0^t\! \frac{\alpha}{M}\textrm{d}t \end{equation}

dove abbiamo omesso la dipendenza esplicita dal tempo della funzione incognita \(n \). Per risolvere l'integrale a primo membro utilizziamo la tecnica della scomposizione in frazioni parziali

\begin{equation} \frac{1}{n(M-n)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{M-n} \end{equation}

e così per determinare \(a \) e \(b \) riscriviamo la precedente come

\begin{equation} 1=a(M-n)+b\,n \end{equation}

e quindi

\begin{equation} 1=n(b-a)+a M\qquad\hbox{da cui}\qquad b-a=0\quad\wedge\quad a M=1. \end{equation}

Troviamo pertanto \(a=b=1/M\) e quindi l'integrale a primo membro di \eqref{eq:42} diviene

\begin{equation} \int_{n_0}^n\biggl(\!\frac{1}{M}\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{M}\cdot \frac{1}{M-n}\!\biggr) \textrm{d}n=\frac{\alpha}{M}t \end{equation}

per cui, posto a fattore la costante \(1/M\) e moltiplicati entrambi i membri per \(M\) otteniamo

\begin{equation} \int_{n_0}^n\!\biggl(\frac{1}{n}+\frac{1}{M-n}\!\biggr) \textrm{d}n=\alpha\,t. \end{equation}

Decomposto l'integrale in

\begin{equation} \int_{n_0}^n\!\frac{\textrm{d}n}{n}+\int_{n_0}^n\!\frac{\textrm{d}n}{M-n}=\alpha\,t, \end{equation}

possiamo integrare elementarmente

\begin{equation} \bigl[\ln|n|\bigr]_{n_0}^n-\int_{n_0}^n\!\frac{\textrm{d}n}{n-M}=\alpha\,M\,t\quad\longrightarrow\quad \bigl[\ln|n|\bigr]_{n_0}^n-\bigl[\ln|n-M|\bigr]_{n_0}^n=\alpha\,t. \end{equation}

Poiché cerchiamo una soluzione che soddisfi la condizione \(n<M\) e quindi sia \(|n-M|=M-n\), dalla precedente discende

\begin{equation} \biggl[\ln\biggl(\!\frac{n}{M-n}\biggr)\!\biggr]_{n_0}^n\kern-4pt=\alpha\,t \quad\longrightarrow\quad\ln \biggl[\!\biggl(\frac{n}{M-n}\biggr)\!\biggl(\frac{M-n_0}{n_0}\biggr)\!\biggr]\!=\alpha\,t. \end{equation}

Posto

\begin{equation} \beta= \frac{M-n_0}{n_0} \end{equation}

il passaggio all'esponenziale implica

\begin{equation} \biggl(\!\frac{n}{M-n}\!\biggr)\beta=e^{\alpha t} \end{equation}

e quindi risolviamo algebricamente nella funzione \(n \)

\begin{equation} \eqalign{n\beta&=(M-n) e^{\alpha t}\qquad\longrightarrow\qquad n(\beta+e^{\alpha t})&= M e^{\alpha t}\\[4pt] n&=\frac{M e^{\alpha t}}{\beta+e^{\alpha t}}.\cr} \end{equation}

Dividendo per \(e^{\alpha t} \) numeratore e denominatore otteniamo l'espressione analitica

\begin{equation} n=\frac{M}{1+\beta\, e^{-\alpha t}} \end{equation}

e reintrodotto \(\beta \) giungiamo alla funzione

\begin{equation}\label{eq:23} n(t)=\frac{M n_0}{n_0+(M-n_0)e^{-\alpha t}}. \end{equation}

Controllato che la precedente riporti per \(t=0\) il valore iniziale \(n_0 \)

\begin{equation} n_0=\frac{M n_0}{n_0+(M-n_0)e^{-\alpha 0}}=\frac{Mn_0}{n_0+M-n_0}=n_0 \end{equation}

notiamo come la funzione \eqref{eq:23} possieda l'andamento asintotico

\begin{equation} \lim_{t\to\infty}n(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{M n_0}{n_0+(M-n_0)e^{-\alpha t}}=\frac{Mn_0}{n_0+0}=M \end{equation}

che conferma la tendenza della popolazione ad avvicinarsi asintoticamente al valore \(M \), valore massimo sostenibile con le risore a disposizione. In definitiva, la funzione logistica utilizzata nella pagina precedente assume la forma

\begin{equation}\bbox[15px,#ffffcc, border:1px solid red]{ n(t)=\frac{M}{1+\beta\, e^{-\alpha t}}. }\label{eq:58} \end{equation}

7. Bibliografia

  1. M. Iannelli, A. Pugliese: An Introduction to Mathematical Population Dynamics. Springer.
  2. F. Brauer, C. Castillo-Chavez: Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Springer.
  3. M. Keeling, P. Rohani: Modeling Infectious Diseases. Princeton University Press.
  4. D. Sloughter: Difference Equations to Differential Equations. Orange Grove Texts.
  5. V. Francardi: L'Intelligence del contagio. Rivista Prisma, aprile 2020.

Siti istituzionali consultati:

  1. Dipartimento della Protezione Civile
  2. Dati giornalieri nazionali e regionali
  3. Istituto Superiore di Sanità (epidemiologia)
  4. Azienda Zero della Regione Veneto

8. Notebook

Il notebook di Mathematica presente nel file ZIP contiene tutte le funzioni utilizzate per

  • il prelievo e la lettura dei dati regionali (nel formato JSON) e nazionali (nel formato CSV), e distribuiti giornalmente dalla Protezione Civile.
  • Le medesime funzioni, accompagnate da brevi commenti, permettono l'elaborazione numerica e grafica di ciascuna regione o dell'intera nazione.

Lo stesso file contiene in aggiunta gli ultimi due file di dati utilizzati per l'elaborazione (mentre quanto riportato in queste pagine è aggiornato al 13 maggio 2020) e, inoltre, quattro semplici programmi in linguaggio Python che riproducono il fit logistico dei casi di contagio e delle variazioni giornaliere per la regione e per l'intera nazione con relative rappresentazioni grafiche.

Preleva covid-19.zip (331 kB)

Per una eventuale lettura preventiva del notebook di Mathematica riportiamo pure una sua traduzione PDF.

Preleva covid-19.pdf (2.61 MB)

Per accedere anche in forme interattive ad alcuni notebook di Jupyter con le principali elaborazioni consultare la pagina GitHub

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